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10个流行的排序算法

稳定:如果a原本在b前面,而a=b,排序之后a仍然在b的前面;
不稳定:如果a原本在b的前面,而a=b,排序之后a可能会出现在b的后面;
内排序:所有排序操作都在内存中完成;
外排序:由于数据太大,因此把数据放在磁盘中,而排序通过磁盘和内存的数据传输才能进行;
时间复杂度: 一个算法执行所耗费的时间。
空间复杂度:运行完一个程序所需内存的大小。

冒泡排序Bubble Sort

重复地走访过要排序的数列,一次比较两个元素,如果它们的顺序错误就把它们交换过来。走访数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换,也就是说该数列已经排序完成。这个算法的名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端。

算法描述:
1.比较相邻的元素。如果第一个比第二个大,就交换他们两个。
2.对每一对相邻元素作同样的工作,从开始第一对到结尾的最后一对。这步做完后,最后的元素会是最大的数。
3.针对所有的元素重复以上的步骤,除了最后一个。
4.持续每次对越来越少的元素重复上面的步骤,直到没有任何一对数字需要比较。

代码实现

public static void bubbleSort(int[] array) {
        boolean didSwap;
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            didSwap = false;
            for (int j = 0; j < array.length - 1 - i; j++) {
                //这里array[j + 1] < array[j]没有用<=,同样是为了提供稳定的排序。
                if (array[j + 1] < array[j]) {
                    int temp = array[j + 1];
                    array[j + 1] = array[j];
                    array[j] = temp;
                    didSwap = true;
                }
            }
            if(didSwap == false) {
                return;
            }
        }
    }

当冒泡中途发现已经为正序了,便无需继续比对下去。这是优化过的方法

时间复杂度

冒泡排序最优的时间复杂度O(n)
若初始状态是正序的,一趟扫描即可完成排序。所需的关键字比较次数C和记录移动次数M均达到最小值:C=n-1M=0
冒泡排序最差的时间复杂度O(n²)
若初始状态是反序的,需要进行n-1趟排序。每趟排序要进行n-i次关键字的比较
(1≤i≤n-1),且每次比较都必须移动记录三次来达到交换记录位置。在这种情况下,比较和移动次数均达到最大值:
Cmax = N(N-1)/2 = O(N^2)
Mmax = 3N(N-1)/2 = O(N^2)
冒泡排序的平均时间复杂度为O(N^2)

注:这里三次是指交换方法。
先将array[j + 1]值记录temp,然后用array[j]覆盖array[j + 1]的值,最后用temp值覆盖array[j]的值

动画演示:

10个流行的排序算法插图

插入排序Insertion Sort

工作原理是通过构建有序序列,对于未排序数据,在已排序序列中从后向前扫描,找到相应位置并插入。插入排序在实现上,通常采用in-place排序(即只需用到O(1)的额外空间的排序),因而在从后向前扫描过程中,需要反复把已排序元素逐步向后挪位,为最新元素提供插入空间。

插入排序的思想:
从第二个元素开始往后,依次选择哨兵元素和前面的元素比较,如果前一个元素大于该哨兵元素(从小到大排序),则把前面那个元素移动到后一个位置;继续往前比较,直到找某个元素不大于该哨兵元素,则把哨兵元素插入到位置上;

算法描述:
1.从第一个元素开始,该元素可以认为已经被排序
2.取出下一个元素,在已经排序的元素序列中从后向前扫描
3.如果该元素(已排序)大于新元素,将该元素移到下一位置
4.重复步骤3,直到找到已排序的元素小于或者等于新元素的位置
5.将新元素插入到该位置后
6.重复步骤2~5

代码实现

public static void insertionSort(int[] array) {
        for (int i = 1; i < array.length; i++) {
            int key = array[i];
            int j = i - 1;
            while (j >= 0 && array[j] > key) {
                array[j + 1] = array[j];
                j--;
            }
            array[j + 1] = key;
        }
    }

时间复杂度

插入排序最优的时间复杂度O(n)
若初始状态是正序的,一趟扫描即可完成排序。所需的关键字比较次数C达到最小值:C=n-1
插入排序最差的时间复杂度O(n²)
若初始状态是反序的,需要进行n-1趟排序。每趟排序要进行n-i次关键字的比较
(1≤i≤n-1)在这种情况下,比较次数达到最大值:
Cmax = N(N-1)/2 = O(N²)
冒泡排序的平均时间复杂度为O(N²)

动画演示

10个流行的排序算法插图1

选择排序Selection Sort

工作原理是首先在未排序序列中找到最小(大)元素,存放到排序序列的起始位置,然后,再从剩余未排序元素中继续寻找最小(大)元素,然后放到已排序序列的末尾。以此类推,直到所有元素均排序完毕。

优点

选择排序的主要优点与数据移动有关。如果某个元素位于正确的最终位置上,则它不会被移动。选择排序每次交换一对元素,它们当中至少有一个将被移到其最终位置上,因此对n个元素的表进行排序总共进行至多n-1次交换。在所有的完全依靠交换去移动元素的排序方法中,选择排序属于非常好的一种。

算法描述:
初始状态:无序区为R[1..n],有序区为空;
i趟排序(i=1,2,3…n-1)开始时,当前有序区和无序区分别为R[1..i-1]R(i..n)。该趟排序从当前无序区中-选出关键字最小的记录 R[k],将它与无序区的第1个记录R交换,使R[1..i]R[i+1..n)分别变为记录个数增加1个的新有序区和记录个数减少1个的新无序区;
n-1趟结束,数组有序化了。

代码实现

public static void selectionSort(int[] arr) {
    int min, temp;
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
           //初始化未排序序列中最小数据数组下标
                min=i;
        for (int j = i; j < arr.length; j++)
              //在未排序元素中继续寻找最小元素,并保存其下标
            if (arr[j] <arr[min]) min = j;
               //将未排序列中最小元素放到已排序列末尾
        temp = arr[min]; 
        arr[min] = arr[i];
        arr[i] = temp;
    }
}

时间复杂度
表现最稳定的排序算法之一,因为无论什么数据进去都是O(n²)的时间复杂度,所以最优最差平均时间复杂度都是O(n²)
选择排序的交换操作介于0(n-1)次之间。选择排序的比较操作为 n(n-1)/2次。选择排序的赋值操作介于03(n-1)次之间。

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10个流行的排序算法插图2

快速排序Quick Sort

快速排序的基本思想:通过一趟排序将待排记录分隔成独立的两部分,其中一部分记录的关键字均比另一部分的关键字小,则可分别对这两部分记录继续进行排序,以达到整个序列有序。

算法描述:

1.快速排序使用分治法来把一个串分为两个子串。
从数列中挑出一个元素,称为 “基准”
2.重新排序数列,所有元素比基准值小的摆放在基准前面,所有元素比基准值大的摆在基准的后面(相同的数可以到任一边)。在这个分区退出之后,该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区操作
3.递归地把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序
递归到最底部时,数列的大小是零或一,也就是已经排序好了。这个算法一定会结束,因为在每次的迭代中,它至少会把一个元素摆到它最后的位置去。

代码实现

private static void quickSort(int[] arr, int head, int tail) {
        if (head >= tail || arr == null || arr.length <= 1) {
            return;
        }
        int i = head, j = tail, pivot = arr[(head + tail) / 2];
        while (i <= j) {
            while (arr[i] < pivot) {
                ++i;
            }
            while (arr[j] > pivot) {
                --j;
            }
            if (i < j) {
                int t = arr[i];
                arr[i] = arr[j];
                arr[j] = t;
                ++i;
                --j;
            } else if (i == j) {
                ++i;
            }
        }
        quickSort(arr, head, j);
        quickSort(arr, i, tail);
    }

main方法中调用quickSort(arr,0,arr.length-1)需要传排序数组,起始位置,数组长度-1

时间复杂度
最优时间复杂度:O(nlogn)
快速排序最优的情况就是每一次取到的元素都刚好平分整个数组,一次递归共需比较n次,递归深度为logn
最差时间复杂度: O(n²)
最差的情况就是每一次取到的元素就是数组中最小/最大的,这种情况其实就是冒泡排序了(每一次都排好一个元素的顺序)n(n-1)/2 = O(n²)
平均情况:O(nlogn) 

10个流行的排序算法插图3

image.png

动画演示

10个流行的排序算法插图4

希尔排序Shell Sort

希尔排序,也称递减增量排序算法,是插入排序的一种更高效的改进版本。希尔排序是非稳定排序算法。

希尔排序的思想:
shell排序是相当于把一个数组中的所有元素分成几部分来排序;先把几个小部分的元素排序好,让元素大概有个顺序,最后再全面使用插入排序。一般最后一次排序都是和上面的插入排序一样的

基于插入排序进行改进:
插入排序在对几乎已经排好序的数据操作时,效率高,可以达到线性排序的效率
但插入排序一般来说是低效的,因为插入排序每次只能将数据移动一位

先将整个待排序的记录序列分割成为若干子序列分别进行直接插入排序,
具体算法描述:
1.选择一个增量序列t1,t2,…,tk,其中ti>tj,tk=1;
2.按增量序列个数k,对序列进行k 趟排序;
3.每趟排序,根据对应的增量ti,将待排序列分割成若干长度为m 的子序列,分别对各子表进行直接插入排序。仅增量因子为1 时,整个序列作为一个表来处理,表长度即为整个序列的长度。

代码实现

public static void shellSort(int[] array) {
        int number = array.length / 2;//设置起始增量
        int i;
        int j;
        int temp;
        while (number >= 1) {
            for (i = number; i < array.length; i++) {
                //对每个子序列进行插入排序
                temp = array[i];
                j = i - number;
                while (j >= 0 && array[j] > temp) {
                    array[j + number] = array[j];
                    j = j - number;
                }
                array[j + number] = temp;
            }
            number = number / 2;//缩小增量
        }
    }

通过增量是否为1控制整个排序的结束。在增量为为number时,遍历此时的number个子序,从k=0k=number-1。随后对每个子序进行插入排序操作。

步长选择

步长的选择是希尔排序的重要部分。只要最终步长为1任何步长序列都可以工作。算法最开始以一定的步长进行排序。然后会继续以一定步长进行排序,最终算法以步长为1进行排序。当步长为1时,算法变为冒泡排序,这就保证了数据一定会被排序。

时间复杂度
希尔排序的时间复杂度与增量的选取有关。
最佳情况:T(n) = O( n)
根据增量序列的不同而不同。已知最好的 O( n)
最坏情况:T(n) = O(nlog2 n)
平均情况:T(n) =O(nlog2n)

总的来说,比较在希尔排序中是最主要的操作,而不是交换。在一些步长序列的希尔排序比插入排序要快,甚至在小数组中比快速排序和堆排序还快,但是在涉及大量数据时希尔排序还是比快速排序慢。

动画演示

10个流行的排序算法插图5

以23, 10, 4, 1的步长序列进行希尔排序。

归并排序Merge Sort

该算法是采用分治法的一个非常典型的应用,且各层分治递归可以同时进行。归并指的是将两个已经排序的序列合并成一个序列的操作。

归并操作有两种实现方式:递归和迭代

递归算法描述:
1.申请空间,使其大小为两个已经排序序列之和,该空间用来存放合并后的序列
2.设定两个指针,最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置
3.比较两个指针所指向的元素,选择相对小的元素放入到合并空间,并移动指针到下一位置
4.重复步骤3直到某一指针到达序列尾
5.将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾

代码实现

public static void MergeSort(int[] arr, int low, int high)
    {
        //使用递归的方式进行归并排序,所需要的空间复杂度是O(N+logN)
        int mid = (low + high)/2;
        if(low < high)
        {
            //递归地对左右两边进行排序
            MergeSort(arr, low, mid);
            MergeSort(arr, mid+1, high);
            //合并
            merge(arr, low, mid, high);
        }
    }
    //merge函数实际上是将两个有序数组合并成一个有序数组
    //因为数组有序,合并很简单
    private static void merge(int[] arr, int low, int mid, int high)
    {
        //temp数组用于暂存合并的结果
        int[] temp = new int[high - low + 1];
        //左半边的指针
        int i = low;
        //右半边的指针
        int j = mid+1;
        //合并后数组的指针
        int k = 0;
        //将记录由小到大地放进temp数组
        for(; i <= mid && j <= high; k++)
        {
            if(arr[i] < arr[j]) {
                temp[k] = arr[i++];
            } else {
                temp[k] = arr[j++];
            }
        }
        //接下来两个while循环是为了将剩余的(比另一边多出来的个数)放到temp数组中
        while(i <= mid) {
            temp[k++] = arr[i++];
        }
        while(j <= high) {
            temp[k++] = arr[j++];
        }
        //将temp数组中的元素写入到待排数组中
        for(int l = 0; l < temp.length; l++) {
            arr[low + l] = temp[l];
        }
    }

迭代算法描述:
假设序列共有n个元素
1.将序列每相邻两个数字进行归并操作,形成ceil(n/2)个序列,排序后每个序列包含两/一个元素
2.若此时序列数不是1个则将上述序列再次归并,形成ceil(n/4)个序列,每个序列包含四/三个元素
3.重复步骤2,直到所有元素排序完毕,即序列数为1

代码实现

public static void MergeSort(int[] arr)
    {
        //使用迭代的方式来实现归并排序
        int len = arr.length;
        int k = 1;
        while(k < len)
        {
            MergePass(arr, k, len);
            k *= 2;
        }
    }
    //MergePass方法负责将数组中的相邻的有k个元素的字序列进行归并
    private static void MergePass(int[] arr, int k, int n)
    {
        int i = 0;
        int j;
        //从前往后,将2个长度为k的子序列合并为1个
        while(i < n - 2*k + 1)
        {
            merge(arr, i, i + k-1, i + 2*k - 1);
            i += 2*k;
        }
        //将“落单的”长度不足两两merge的部分和前面merge起来。
        if(i < n - k )
        {
            merge(arr, i, i+k-1, n-1);
        }

    }
    //merge函数实际上是将两个有序数组合并成一个有序数组
    //因为数组有序,合并很简单
    private static void merge(int[] arr, int low, int mid, int high)
    {
        //temp数组用于暂存合并的结果
        int[] temp = new int[high - low + 1];
        //左半边的指针
        int i = low;
        //右半边的指针
        int j = mid+1;
        //合并后数组的指针
        int k = 0;
        //将记录由小到大地放进temp数组
        for(; i <= mid && j <= high; k++)
        {
            if(arr[i] < arr[j]) {
                temp[k] = arr[i++];
            } else {
                temp[k] = arr[j++];
            }
        }
        //接下来两个while循环是为了将剩余的(比另一边多出来的个数)放到temp数组中
        while(i <= mid) {
            temp[k++] = arr[i++];
        }
        while(j <= high) {
            temp[k++] = arr[j++];
        }
        //将temp数组中的元素写入到待排数组中
        for(int l = 0; l < temp.length; l++) {
            arr[low + l] = temp[l];
        }
    }

时间复杂度
归并排序每次会把当前的序列一分为二,然后两部分各自排好序之后再合并,这个就像是一颗二叉树,每一层的总计算量是O(n)的,总的层数是O(logn)的,所以总的复杂度是O(nlogn)
最佳情况: O(nlogn)
最坏情况: O(nlogn)
平均情况: O(nlogn)

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10个流行的排序算法插图6

堆排序Heap Sort

是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆是一个近似完全二叉树的结构,并同时满足堆积的性质:即子结点的键值或索引总是小于(或者大于)它的父节点。

算法描述
1.将初始待排序关键字序列(R1,R2….Rn)构建成大顶堆,此堆为初始的无序区
2.将堆顶元素R[1]与最后一个元素R[n]交换,此时得到新的无序区(R1,R2,……Rn-1)和新的有序区(Rn),且满足R[1,2…n-1]<=R[n]
3.由于交换后新的堆顶R[1]可能违反堆的性质,因此需要对当前无序区(R1,R2,……Rn-1)调整为新堆,然后再次将R[1]与无序区最后一个元素交换,得到新的无序区(R1,R2….Rn-2)和新的有序区(Rn-1,Rn)。不断重复此过程直到有序区的元素个数为n-1,则整个排序过程完成。

代码实现

public static void heapSort(int[] a){
        System.out.println("开始排序");
        int arrayLength=a.length;
        //循环建堆
        for(int i=0;i<arrayLength-1;i++){
            //建堆
            buildMaxHeap(a,arrayLength-1-i);
            //交换堆顶和最后一个元素
            swap(a,0,arrayLength-1-i);
            System.out.println(Arrays.toString(a));
        }
    }
    private static void swap(int[] data, int i, int j) {
        int tmp=data[i];
        data[i]=data[j];
        data[j]=tmp;
    }
    //对data数组从0到lastIndex建大顶堆
    private static void buildMaxHeap(int[] data, int lastIndex) {
        //从lastIndex处节点(最后一个节点)的父节点开始
        for(int i=(lastIndex-1)/2;i>=0;i--){
            //k保存正在判断的节点
            int k=i;
            //如果当前k节点的子节点存在
            while(k*2+1<=lastIndex){
                //k节点的左子节点的索引
                int biggerIndex=2*k+1;
                //如果biggerIndex小于lastIndex,即biggerIndex+1代表的k节点的右子节点存在
                if(biggerIndex<lastIndex){
                    //若果右子节点的值较大
                    if(data[biggerIndex]<data[biggerIndex+1]){
                        //biggerIndex总是记录较大子节点的索引
                        biggerIndex++;
                    }
                }
                //如果k节点的值小于其较大的子节点的值
                if(data[k]<data[biggerIndex]){
                    //交换他们
                    swap(data,k,biggerIndex);
                    //将biggerIndex赋予k,开始while循环的下一次循环,
                          //重新保证k节点的值大于其左右子节点的值
                    k=biggerIndex;
                }else{
                    break;
                }
            }
        }
    }

时间复杂度
希尔排序的时间复杂度与增量的选取有关。
最佳情况:O(nlogn)
最坏情况:O(nlogn)
平均情况:O(nlogn)

动画演示

10个流行的排序算法插图7

计数排序Counting sort

当输入的元素是 n0k之间的整数时,它的运行时间是n+k。计数排序不是比较排序,排序的速度快于任何比较排序算法。

算法描述:
1.找出待排序的数组中最大和最小的元素
2.统计数组中每个值为i的元素出现的次数,存入数组 C 的第i
3.对所有的计数累加(从 C中的第一个元素开始,每一项和前一项相加)
4.反向填充目标数组:将每个元素i放在新数组的第C[i]项,每放一个元素就将C[i]减去1

代码实现

public static void CountingSort(int[] array) {
        int k;
        int min = array[0];
        int max = array[0];
        for (int i = 1; i < array.length; i++) {
            if (array[i] > max) {
                max = array[i];
            }
            if (array[i] < min) {
                min = array[i];
            }
        }
        k = 0 - min;
        int[] bucket = new int[max - min + 1];
        Arrays.fill(bucket, 0);
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            bucket[array[i] + k]++;
        }
        int index = 0, i = 0;
        while (index < array.length) {
            if (bucket[i] != 0) {
                array[index] = i - k;
                bucket[i]--;
                index++;
            } else {
                i++;
            }
        }
    }

时间复杂度
k代表数值中的位数
最佳情况:O(n+k)
最坏情况:O(n+k)
平均情况:O(n+k)

动画演示

10个流行的排序算法插图8

基数排序Radix Sort

将所有待比较数值(正整数)统一为同样的数字长度,数字较短的数前面补零。然后,从最低位开始,依次进行一次排序。这样从最低位排序一直到最高位排序完成以后,数列就变成一个有序序列。

算法描述
1.取得数组中的最大数,并取得位数;
2.arr为原始数组,从最低位开始取每个位组成radix数组;
3.对radix进行计数排序(利用计数排序适用于小范围数的特点);

代码实现

public static int[] RadixSort(int[] array) {
        if (array == null || array.length < 2) {
            return array;
        }
        // 1.先算出最大数的位数;
        int max = array[0];
        for (int i = 1; i < array.length; i++) {
            max = Math.max(max, array[i]);
        }
        int maxDigit = 0;
        while (max != 0) {
            max /= 10;
            maxDigit++;
        }
        int mod = 10, div = 1;
        ArrayList<ArrayList<Integer>> bucketList = new ArrayList<>();
        for (int i = 0; i < 10; i++) {
            bucketList.add(new ArrayList<Integer>());
        }
        for (int i = 0; i < maxDigit; i++, mod *= 10, div *= 10) {
            for (int j = 0; j < array.length; j++) {
                int num = (array[j] % mod) / div;
                bucketList.get(num).add(array[j]);
            }
            int index = 0;
            for (int j = 0; j < bucketList.size(); j++) {
                for (int k = 0; k < bucketList.get(j).size(); k++) {
                    array[index++] = bucketList.get(j).get(k);
                }
                bucketList.get(j).clear();
            }
        }
        return array;
    }

时间复杂度
最佳情况:O(n*k)
最坏情况:O(n²)
平均情况:O(n*k)

动画演示

10个流行的排序算法插图9

桶排序Bucket Sort

桶排序是计数排序的升级版。它利用了函数的映射关系,高效与否的关键就在于这个映射函数的确定。桶排序 (Bucket sort)的工作的原理:假设输入数据服从均匀分布,将数据分到有限数量的桶里,每个桶再分别排序(有可能再使用别的排序算法或是以递归方式继续使用桶排序进行排)。

算法描述
1.设置一个定量的数组当作空桶
2.遍历输入数据,并且把数据一个一个放到对应的桶里去
3.对每个不是空的桶进行排序
4.从不是空的桶里把排好序的数据拼接起来

代码实现

public static void bucketSort(int[] a){
        int minValue = a[0];
        int maxValue = a[0];
        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            maxValue = Math.max(maxValue, a[i]);
            minValue = Math.min(minValue, a[i]);
        }
        int bucketSize = (maxValue - minValue) / a.length + 1;
        ArrayList<ArrayList<Integer>> buckets = new ArrayList<>(bucketSize);
        for (int i = 0; i < bucketSize; i++) {
            buckets.add(new ArrayList());
        }
        System.out.println("minValue ="  + minValue);
        System.out.println("maxValue = " + maxValue);
        System.out.println("bucketSize = " + bucketSize);
        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            //映射函数实现元素与桶之间的对应
            int num = (a[i] - minValue) / a.length;
            buckets.get (num).add(a[i]);
        }
        //对桶进行排序(这里使用了java自带的TimSort算法)
        // 时间复杂度平均值=最坏= O(nlogn)) 最好=O(n)
        //空间复杂度O(n)
        for (int i = 0; i < buckets.size(); i++) {
            Collections.sort(buckets.get(i));
        }
        System.out.println(buckets.toString());
    }

时间复杂度
N个数据平均的分配到M个桶中,这样每个桶就有[N/M]个数据量
桶排序平均时间复杂度为:

O(N)+O(M*(N/M)*log(N/M))=O(N+N*(logN-logM))=O(N+N*logN-N*logM)
N=M时,即极限情况下每个桶只有一个数据时。桶排序的最好效率能够达到O(N)
最佳情况:O(N)
最坏情况:O(n²)
平均情况:O(N+C),其中C=N*(logN-logM)

关于基数排序,计数排序和桶排序

1.都是非比较的排序算法
2.基数排序和计数排序都可以看作是桶排序。
计数排序本质上是一种特殊的桶排序,当桶的个数取最大的时候,就变成了计数排序。
3.基数排序也是一种桶排序。桶排序是按值区间划分桶,基数排序是按数位来划分;基数排序可以看做是多轮桶排序,每个数位上都进行一轮桶排序。
4.当用最大值作为基数时,基数排序就退化成了计数排序。

关于这10个流行排序算法的总结

10个流行的排序算法插图10
image.png

k代表数值中的位数
n代表数据规模
m代表数据的最大值减最小值

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